Dimostrazione alternativa del I teorema di Euclide

Una dimostrazione alternativa del I Teorema di Euclide.

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In fig. 1 il quadrilatero ACDF è scomposto in un rettangolo, ABLF, e in due triangoli, ABC e BLD.

Ora lo scomporremo in un altro modo. Precisamente, facendo riferimento a fig. 3.

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Sul lato CD prendiamo il punto M tale che risulti MD = CB; onde, per differenza, CM = BD.

Inoltre, sul lato FD prendiamo il punto N tale che sia ND = FL (=AB), onde per differenza FN = LD.

Congiungendo M con N ed N con A si ottiene una seconda scomposizione del quadrilatero ACDF, costituita dal quadrilatero ACMN e dai due triangoli AFN, NDM. (fig. 3)             

Ebbene, i triangoli rettangoli BLD e AFN sono uguali, avendo – per costruzione – i cateti a due a due uguali. Ne segue che sono uguali anche le ipotenuse BD e AN.

Inoltre i triangoli ABC ed NDM sono uguali per il primo criterio di uguaglianza, poiché l’angolo CBA è uguale all’angolo in D – in quanto essi sono complementari all’angolo DBL – e i lati che delimitano rispettivamente questi due angoli sono uguali per costruzione.

Perciò il rettangolo ABLF e il quadrilatero ACMN sono equivalenti per differenza. Resta da provare che ACMN è un quadrato.

In effetti, NM = AC perché lati opposti ad angoli uguali situati rispettivamente nei triangoli uguali ABC ed NDM; inoltre NM e AC sono paralleli, in quanto entrambi perpendicolari a CD. Perciò il quadrilatero ACMN è un rettangolo, avendo due lati opposti uguali e paralleli e un angolo retto. In fine tale rettangolo è un quadrato, poiché sono uguali anche i suoi due lati consecutivi CM e AC, entrambi uguali a BD (per l’uguaglianza fra AC e BD). Perciò ACMN è un quadrato; ed è quello di cui al I teorema di Euclide, in quanto esso ha per lato il cateto AC.

Informazioni tratte da: http:// http://www.matematicamente.it/magazine/22maggio2014/203Carachino-DeMitri_Dimostrazioni-Euclide.pdf

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Figure impossibili

La suggestione spaziale di un’immagine piana può essere così forte che si possono suggerire su di essa dei mondi che, in tre dimensioni, non potrebbero assolutamente esistere. L’immagine che ne risulta sembra la proiezione di un oggetto tridimensionale su una superficie piana, ma guardando bene ci si accorge che non è vero: quella figura non potrebbe mai avere un’esistenza spaziale.
http:// http://web.unife.it/progetti/geometria/Escher_A/impossibili.htm

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Dividere per zero

In matematica, una divisione per zero è una divisione della forma \frac{a}{0}. Il risultato non esiste (cioè l’espressione non ha significato) in aritmetica e in algebra.

È piuttosto diffusa l’errata opinione per cui il valore di \frac{a}{0} sarebbe \infty (infinito). Questa affermazione fa riferimento, in modo non del tutto corretto, a una interpretazione della divisione in termini della teoria dei limiti dell’analisi matematica.

Esistono comunque particolari strutture matematiche all’interno delle quali la divisione per zero potrebbe essere definita in modo consistente (per esempio, la sfera di Riemann).

In informatica, e in particolare nell’implementazione elettronica dell’aritmetica nelle ALU dei processori, una divisione per zero causa un’eccezione (o trap) hardware e di conseguenza (in genere) la terminazione del programma che ha tentato l’operazione. Nei linguaggi interpretati come Java, un tentativo di eseguire una divisione per zero viene generalmente intercettato dall’interprete, che segnala l’anomalia (per esempio attraverso una eccezione) senza tentare di eseguire l’operazione.

Informazioni e immagini tratte da: http://it.wikipedia.org/wiki/Divisione_per_zero

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Illusioni ottiche…

Un’illusione ottica è una qualsiasi illusione che inganna l’apparato visivo umano, facendogli percepire qualcosa che non è presente o facendogli percepire in modo scorretto qualcosa che nella realtà si presenta diversamente.

Le illusioni ottiche possono manifestarsi naturalmente o essere dimostrate da specifici trucchi visuali che mostrano particolari assunzioni del sistema percettivo umano.

Classificazione

Si hanno tre categorie di illusioni:

  • ottiche, quando sono causate da fenomeni puramente ottici e pertanto non dipendenti dalla fisiologia umana;
  • percettive, in quanto generate dalla fisiologia dell’occhio. Un esempio sono le immagini postume che si possono vedere chiudendo gli occhi dopo avere fissato un’immagine molto contrastata e luminosa;
  • cognitive, dovute all’interpretazione che il cervello dà delle immagini. Un caso tipico sono le figure impossibili e i paradossi prospettici.
Illusioni geometriche

Sono illusioni cognitive in cui viene percepita erroneamente la geometria dell’immagine o parte di essa. Per esempio linee parallele vengono percepite come divergenti, convergenti o curve. In altri casi due elementi che hanno la stessa dimensione sono percepiti con dimensione differente. L’effetto può essere causato dal fatto che un’area di colore chiaro tende ad essere percepita come più ampia della stessa area di colore scuro. Un esempio spettacolare dell’illusione geometrica basata sulla prospettiva è rappresentato dalla stanza di Ames. In cinematografia è frequente l’impiego di trucchi di illusione geometrica per rappresentare oggetti molto grandi usando piccoli modelli oppure oggetti piccoli. Per esempio è possibile fare apparire in scena enormi dinosauri semplicemente ponendo dei loro piccoli modellini molto vicini all’obiettivo fotografico. Un altro esempio di illusione geometrica basata sulla prospettiva è l’illusione di Ponzo.

Illusioni prospettiche

Per rappresentare le immagini tridimensionali su una superficie piatta si utilizzano tecniche di proiezione prospettica. In alcune situazioni però la rappresentazione è ambigua, ed il cervello umano tende a costruire la rappresentazione ritenuta più normale, oppure rimane incerto tra due possibili situazioni, come nel cubo di Necker.

Illusioni di colore e contrasto

In questa categoria di illusioni particolari giochi di contrasto inducono a giudicare di colore o livello di grigio differente due aree che in realtà sono identiche. Scacchiera di Adelson. Per quanto ci si sforzi di guardare l’immagine, non si è in grado di convincersi che le due aree sono dello stesso colore. Il processamento con un software per la manipolazione di immagini mostra facilmente come i due quadrati siano effettivamente colorati nella stessa tonalità di grigio.

Illusioni di completamento

In alcune illusioni si ha la percezione di parti di immagini che non esistono realmente. Altre illusioni di immagini inesistenti sono invece prodotte dalla mente, come nell’esempio del triangolo di Kanizsa o nella illusione dei cerchi inesistenti.

Illusioni di movimento

In queste illusioni si percepisce un movimento di alcuni elementi dell’immagine che ovviamente, essendo stampati su un foglio di carta sono necessariamente immobili. Altre illusioni di movimento sono quelle che si riferiscono alle diverse modalità con le quali si può percepire il movimento stesso, come, ad esempio, il senso di rotazione della Ballerina girevole, che sembra cambiare, assieme alla gamba di appoggio, grazie alla campitura della figura e al movimento di rotazione associato all’assenza di volume.

Figure ambigue

Si tratta di immagini con due o più possibili figure distinte osservabili. Le singole figure possono essere viste a seconda del punto di vista (per esempio capovolgendole), ed in tale caso la percezione è oggettiva, oppure a seconda delle aspettative, quindi la natura dell’illusione è psicologica e soggettiva.

Figure impossibili

Sono rappresentazioni bidimensionali di oggetti impossibili, che non potrebbero esistere cioè nel mondo tridimensionale.

   

 Informazioni tratte da Wikipedia.

Il ponte con il nastro di Möbius

In matematica, e più precisamente in topologia, il nastro di Möbius è un esempio di superficie non orientabile e di superficie rigata.

Se si fa scorrere, infatti, un dito per la sua lunghezza, ci si potrà accorgere che questa striscia è continua e ha, quindi, un unica faccia.

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Modellino, fatto da me, di un ponte costruito con il nastro di Möbius.

Fonti: Wikipedia.

Relazione di chimica: verifica della densità di un corpo

I.S.I.S “Le Filandiere” A.S. 2014-2015

Relazione di chimica:

Verifica della densità di un corpo

Giulia Bergamasco ̴ 1°g ̴ 27/10/2014

Gruppo 5: Giulia Bergamasco, Ilaria Colonello & Tommaso Pizzinato

·Materiale usato:

-bilancia elettronica;

-cilindro graduato;

-H²O.

·Oggetti da calcolare:

-parallelepipedo di alluminio;

-vite di ferro.

·Dati

Misurazioni

Dimensioni dell’oggetto

Massa della vite 49,4 gr Vite h= 6 cm

r= 0,5 cm

Massa del parallelepipedo 16,68 gr Parallelepipedo h= 6 cm l= 1 cm

b= 1 cm

Qnt. Acqua (H²O)           51 ml (per la vite)

                                       33 ml (per il parall.)

·Procedimento:

Il nostro gruppo aveva a disposizione due oggetti: il parallelepipedo e la vite.

1-Misure dirette

Per svolgere questo esperimento, per prima cosa, abbiamo effettuato delle misurazioni dirette (confronto di una grandezza con un campione omogeneo assunto come unità di misura) (vedi tab. dati 1,2 ↑), che ci sono servite, poi, per calcolare matematicamente il volume dei solidi.

2-Calcolo dei volumi

Ecco riportati qui sotto i calcoli eseguiti per il parallelepipedo (V1):

V1= h· b· l V1= 6 cm· 1 cm· 1 cm = 6 cm³

I volumi sono misure indirette perché sono ricavati attraverso una relazione matematica che lega altre grandezze.

3-Misura di un solido con un cilindro graduato per la legge di Archimede

Successivamente abbiamo verificato che fosse esatto il calcolo matematico del volume sfruttando la relazione fra il volume e una grandezza direttamente misurabile (l’altezza del livello dell’acqua nel cilindro) → legge di Archimede

Per misurare il volume V di un solido è sufficiente immergerlo nel liquido (H²O nel nostro caso) e calcolare la differenza fra il volume V1, complessivamente occupato dal solido e dal liquido, e il volume V0 del liquido:

V0 (parallelepipedo)= 33 ml

V (parallelepipedo)= 39 ml quindi → V- V0= 6 ml = 6 ml

(volume calcolato matematicamente)

V0 (vite)= 51ml

V (vite)= 58 ml quindi → V- V0= 7 ml

4-Calcolo della massa

In seguito abbiamo calcolato la massa del solido con una bilancia elettronica, appoggiando l’oggetto su di essa.

M1= 16,68 gr M2= 49,4 gr

5-Calcolo della densità

Essendo, ora, a conoscenza della massa dei solidi, abbiamo potuto calcolare la densità (gr/cm³), che è il rapporto tra massa (gr) e volume (cm³).

La densità è una proprietà caratteristica delle sostanze, ossia una grandezza che assume sempre lo stesso valore per tutti i corpi costituiti dalla stessa sostanza.

d= m/V d1= 16,68 gr/ 6 cm³= 2,78 gr/cm³

d2= 49,4 gr/ 7 cm³= 7,0571429 gr/cm³

Ecco i risultati che hanno ottenuto gli altri gruppi.

·Tabella 1: PARALLELEPIPEDO

N GRUPPO

MATERIALE

OGGETTO

MASSA

(gr)

Volume calcolato

cm³

Volume trovato

cm³

DENSITÀ

(g/cm³)

1

Alluminio

16,690

6

6

2,781 / 2,78

2

Ferro

45,825

6

6

7,6365

3

Alluminio

16,6

4,39

5,5

3,781 / 3,02

4

Ferro

45,9

6

6

7,65

(*)5

Alluminio

16,6

6

6

2,78

6

Ferro

45,960

6

6

7,66

7

Alluminio

16,684

5,86

6

2,847 / 2,78

8

Ferro

45,962

6

6

7,66

(*) → Il nostro gruppo

·Tabella 2: SASSO/ VITE

N GRUPPO

TIPO

OGGETTO

MASSA

(gr)

Volume calcolato

cm³

Volume trovato

cm³

DENSITÀ

(g/cm³)

1

Sasso

11,43

4

2,8575

2

Sasso

17,286

6

2,881

3

Vite

39,6

5,5

7,2

4

Sasso

13,8

6

2,3

(*)5

Vite

49,4

7

7,057

6

Sasso

25,275

9

2,808

7

Sasso

13,463

5

2,6926

8

Vite

24,36

3

8,12

(*) → Il nostro gruppo

In certi casi alcuni dati sono uguali, questo è accaduto perché vi erano oggetti congruenti all’interno dei vari gruppi.

·Osservazioni:

-Quando immergiamo un corpo nell’ H²O, il volume dell’ acqua aumenta, ma di quanto? Questo dipende da volume dell’oggetto preso in considerazione. La grandezza, quindi, influenza il volume, che è una grandezza estensiva, che dipende, cioè, dalle dimensioni del corpo.

Immergendo la vite nel cilindro graduato, l’acqua da 33 ml è passata a 39, è aumentata, quindi, di 6 ml. Analogamente nel caso del parallelepipedo (il nostro era di alluminio) l’H²O si è innalzata di 7 ml, da 51ml a 58 ml.

-La densità, invece, è propria di un corpo costituito da un determinato materiale (grandezza intensiva) non varia, cioè, all’aumentare delle misure.

Per questo motivo, seppur con misure diverse, abbiamo ottenuto tutti il valore di densità molto simile a quello reale.

Dalle tabelle riportate in precedenza (1,2),si può percepire meglio la differenza tra gli oggetti in ferro e quelli in alluminio. Notiamo, infatti, che la densità del ferro (7,96 gr/cm³) è di molto superiore a quella dell’alluminio (2,70 gr/cm³).

-Nel caso del sasso le misure variano molto di gruppo in gruppo, questo perché, non potendo calcolare matematicamente il suo volume (forma irregolare), ognuno si è affidato alla legge di Archimede, ma non si può verificare se i calcoli siano esatti proprio per la sua irregolarità.·

•Conclusione:

Il lavoro ha dato i risultati sperati, seppur con un minimo margine d’errore, impossibile da evitare.

La densità della vite di ferro, infatti, viene 7,057 gr/cm³ con un errore di 0,903 gr/cm³

Quella del parallelepipedo di alluminio è, invece, 2,78 gr/cm³ con un errore di 0,08 gr/cm³