Dimostrazione alternativa del I teorema di Euclide

Una dimostrazione alternativa del I Teorema di Euclide.

2015-10-06 14.40.57

In fig. 1 il quadrilatero ACDF è scomposto in un rettangolo, ABLF, e in due triangoli, ABC e BLD.

Ora lo scomporremo in un altro modo. Precisamente, facendo riferimento a fig. 3.

2015-10-06 14.39.41

Sul lato CD prendiamo il punto M tale che risulti MD = CB; onde, per differenza, CM = BD.

Inoltre, sul lato FD prendiamo il punto N tale che sia ND = FL (=AB), onde per differenza FN = LD.

Congiungendo M con N ed N con A si ottiene una seconda scomposizione del quadrilatero ACDF, costituita dal quadrilatero ACMN e dai due triangoli AFN, NDM. (fig. 3)             

Ebbene, i triangoli rettangoli BLD e AFN sono uguali, avendo – per costruzione – i cateti a due a due uguali. Ne segue che sono uguali anche le ipotenuse BD e AN.

Inoltre i triangoli ABC ed NDM sono uguali per il primo criterio di uguaglianza, poiché l’angolo CBA è uguale all’angolo in D – in quanto essi sono complementari all’angolo DBL – e i lati che delimitano rispettivamente questi due angoli sono uguali per costruzione.

Perciò il rettangolo ABLF e il quadrilatero ACMN sono equivalenti per differenza. Resta da provare che ACMN è un quadrato.

In effetti, NM = AC perché lati opposti ad angoli uguali situati rispettivamente nei triangoli uguali ABC ed NDM; inoltre NM e AC sono paralleli, in quanto entrambi perpendicolari a CD. Perciò il quadrilatero ACMN è un rettangolo, avendo due lati opposti uguali e paralleli e un angolo retto. In fine tale rettangolo è un quadrato, poiché sono uguali anche i suoi due lati consecutivi CM e AC, entrambi uguali a BD (per l’uguaglianza fra AC e BD). Perciò ACMN è un quadrato; ed è quello di cui al I teorema di Euclide, in quanto esso ha per lato il cateto AC.

Informazioni tratte da: http:// http://www.matematicamente.it/magazine/22maggio2014/203Carachino-DeMitri_Dimostrazioni-Euclide.pdf

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